Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{4}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $2 x^{3}$ par $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} + 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x + 12 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$f''' (x) = 12 x + 12$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.2.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $12$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 12$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12$ .

$12$