Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{6}{x^{2} + 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6}{x^{2} + 3}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 3}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 3}$ comme ${(x^{2} + 3)}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 3$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 3$ .

$6 (- {(x^{2} + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 ({(x^{2} + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 6 {(x^{2} + 3)}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$- 12 {(x^{2} + 3)}^{- 2} x$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} + 3)}^{2}} x$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Associez $- 12$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}} x$

Étape 1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{{(x^{2} + 3)}^{2}} x$

Étape 1.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.4.2.4

Déplacez $12$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 3)}^{2}$ par $1$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 3$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 3$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$- 12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$- 12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$- 12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$- 12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- 12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 12 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.16

Associez $- 12$ et $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 12 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.18

Simplifiez

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Étape 2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{12 (- 3 x^{2}) + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.18.2.1

Multipliez $- 3$ par $12$ .

$- \frac{- 36 x^{2} + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.18.2.2

Multipliez $12$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}] + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.2

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 36 x^{2} + 36] - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{({(x^{2} + 3)}^{3})}^{2}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 3)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 36 x^{2} + 36] - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{3 \cdot 2}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 36 x^{2} + 36] - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 36 x^{2} + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.3

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $- 36$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x + \frac{d}{d x} [36]) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.6

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x + 0) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.7

Additionnez $- 72 x$ et $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - (- 36 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - (- 36 x^{2} + 36) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - (- 36 x^{2} + 36) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - (- 36 x^{2} + 36) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 3 (- 36 x^{2} + 36) (2 \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5.5.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 6 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 6 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} \cdot 0$

Étape 3.5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.7.1

Multipliez $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ par $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 6 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}} + 0$

Étape 3.5.7.2

Additionnez $- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 6 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$ et $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) - 6 (- 36 x^{2} + 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) + (- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36) ({(x^{2} + 3)}^{2} x)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.1

Factorisez ${(x^{2} + 3)}^{2} x$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x) + (- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36) {(x^{2} + 3)}^{2} x$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Factorisez ${(x^{2} + 3)}^{2} x$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{3} (- 72 x)$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72)) + (- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36) {(x^{2} + 3)}^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.1.2

Factorisez ${(x^{2} + 3)}^{2} x$ à partir de $(- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36) {(x^{2} + 3)}^{2} x$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72)) + {(x^{2} + 3)}^{2} x (- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.1.3

Factorisez ${(x^{2} + 3)}^{2} x$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72)) + {(x^{2} + 3)}^{2} x (- 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36)$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72) - 6 (- 36 x^{2}) - 6 \cdot 36)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.2

Associez les exposants.

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Étape 3.6.2.2.1

Multipliez $- 36$ par $- 6$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72) + 216 x^{2} - 6 \cdot 36)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.2.2

Multipliez $- 6$ par $36$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x ((x^{2} + 3) \cdot (- 72) + 216 x^{2} - 216)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (x^{2} \cdot - 72 + 3 \cdot - 72 + 216 x^{2} - 216)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.3.2

Déplacez $- 72$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (- 72 \cdot x^{2} + 3 \cdot - 72 + 216 x^{2} - 216)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.3.3

Multipliez $3$ par $- 72$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (- 72 x^{2} - 216 + 216 x^{2} - 216)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.4

Additionnez $- 72 x^{2}$ et $216 x^{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (144 x^{2} - 216 - 216)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.5

Soustrayez $216$ de $- 216$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (144 x^{2} - 432)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.6

Factorisez $144$ à partir de $144 x^{2} - 432$ .

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Étape 3.6.2.6.1

Factorisez $144$ à partir de $144 x^{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (144 (x^{2}) - 432)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.6.2

Factorisez $144$ à partir de $- 432$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (144 x^{2} + 144 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.2.6.3

Factorisez $144$ à partir de $144 x^{2} + 144 \cdot - 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x (144 (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} x \cdot 144 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.3

Associez des termes.

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Étape 3.6.3.1

Déplacez $144$ à gauche de ${(x^{2} + 3)}^{2} x$ .

$- \frac{144 \cdot ({(x^{2} + 3)}^{2} x) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.3.2

Annulez le facteur commun à ${(x^{2} + 3)}^{2}$ et ${(x^{2} + 3)}^{6}$ .

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Étape 3.6.3.2.1

Factorisez ${(x^{2} + 3)}^{2}$ à partir de $144 {(x^{2} + 3)}^{2} x (x^{2} - 3)$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (144 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 3.6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.3.2.2.1

Factorisez ${(x^{2} + 3)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{6}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (144 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (144 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 3.6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f''' (x) = - \frac{144 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{144 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 144 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}]$ .

$- 144 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}]$

Étape 4.2

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)] - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{({(x^{2} + 3)}^{4})}^{2}}$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 3)}^{4})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)] - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{4 \cdot 2}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 3)] - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 3$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.5

Différenciez.

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Étape 4.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.5.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.5.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (x (2 x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \cdot 1) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.9.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.9.3.1

Multipliez $x^{2} - 3$ par $1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (2 x^{2} + x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.9.3.2

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{4}]}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Étape 4.10.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 3$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.10.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 3$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (4 {(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.11

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.11.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.11.2

Factorisez ${(x^{2} + 3)}^{3}$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

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Étape 4.11.2.1

Factorisez ${(x^{2} + 3)}^{3}$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{4} (3 x^{2} - 3)$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3)) - 4 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.11.2.2

Factorisez ${(x^{2} + 3)}^{3}$ à partir de $- 4 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3)) + {(x^{2} + 3)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.11.2.3

Factorisez ${(x^{2} + 3)}^{3}$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3)) + {(x^{2} + 3)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{8}}$

Étape 4.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.1

Factorisez ${(x^{2} + 3)}^{3}$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{8}$ .

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{3} {(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.12.2

Annulez le facteur commun.

$- 144 \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{3} {(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.12.3

Réécrivez l’expression.

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.15

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.16

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.16.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 4 x (x^{2} - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.16.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x (x^{2} - 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.17

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 (x^{1} x) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.18

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 (x^{1} x^{1}) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{1 + 1} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 144 \frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.21

Associez $- 144$ et $\frac{(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$ .

$\frac{- 144 ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{2} (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{144 ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{2} (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23

Simplifiez

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Étape 4.23.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{144 ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3) - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{144 ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3)) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.23.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.23.3.1.1

Développez $(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.23.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{144 (x^{2} (3 x^{2} - 3) + 3 (3 x^{2} - 3)) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{144 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2} - 3)) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{144 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.23.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.23.3.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{144 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.23.3.1.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- \frac{144 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{144 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{144 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 3 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.2.1.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{144 (3 x^{4} - 3 \cdot x^{2} + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.2.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{144 (3 x^{4} - 3 x^{2} + 9 x^{2} + 3 \cdot - 3) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.2.1.5

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- \frac{144 (3 x^{4} - 3 x^{2} + 9 x^{2} - 9) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.2.2

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $9 x^{2}$ .

$- \frac{144 (3 x^{4} + 6 x^{2} - 9) + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{144 (3 x^{4}) + 144 (6 x^{2}) + 144 \cdot - 9 + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.4

Simplifiez

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Étape 4.23.3.1.4.1

Multipliez $3$ par $144$ .

$- \frac{432 x^{4} + 144 (6 x^{2}) + 144 \cdot - 9 + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.4.2

Multipliez $6$ par $144$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} + 144 \cdot - 9 + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.4.3

Multipliez $144$ par $- 9$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 + 144 (- 8 x^{2} x^{2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.23.3.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 + 144 (- 8 (x^{2} x^{2})) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 + 144 (- 8 x^{2 + 2}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 + 144 (- 8 x^{4}) + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.6

Multipliez $- 8$ par $144$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 - 1152 x^{4} + 144 (- 8 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.7

Multipliez $- 3$ par $- 8$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 - 1152 x^{4} + 144 (24 x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.1.8

Multipliez $24$ par $144$ .

$- \frac{432 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 - 1152 x^{4} + 3456 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.2

Soustrayez $1152 x^{4}$ de $432 x^{4}$ .

$- \frac{- 720 x^{4} + 864 x^{2} - 1296 + 3456 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.3.3

Additionnez $864 x^{2}$ et $3456 x^{2}$ .

$- \frac{- 720 x^{4} + 4320 x^{2} - 1296}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.4

Factorisez $144$ à partir de $- 720 x^{4} + 4320 x^{2} - 1296$ .

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Étape 4.23.4.1

Factorisez $144$ à partir de $- 720 x^{4}$ .

$- \frac{144 (- 5 x^{4}) + 4320 x^{2} - 1296}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.4.2

Factorisez $144$ à partir de $4320 x^{2}$ .

$- \frac{144 (- 5 x^{4}) + 144 (30 x^{2}) - 1296}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.4.3

Factorisez $144$ à partir de $- 1296$ .

$- \frac{144 (- 5 x^{4}) + 144 (30 x^{2}) + 144 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.4.4

Factorisez $144$ à partir de $144 (- 5 x^{4}) + 144 (30 x^{2})$ .

$- \frac{144 (- 5 x^{4} + 30 x^{2}) + 144 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.4.5

Factorisez $144$ à partir de $144 (- 5 x^{4} + 30 x^{2}) + 144 (- 9)$ .

$- \frac{144 (- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$- \frac{144 (- (5 x^{4}) + 30 x^{2} - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.6

Factorisez $- 1$ à partir de $30 x^{2}$ .

$- \frac{144 (- (5 x^{4}) - (- 30 x^{2}) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{4}) - (- 30 x^{2})$ .

$- \frac{144 (- (5 x^{4} - 30 x^{2}) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.8

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$- \frac{144 (- (5 x^{4} - 30 x^{2}) - 1 (9))}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{4} - 30 x^{2}) - 1 (9)$ .

$- \frac{144 (- (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.10

Réécrivez $- (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)$ comme $- 1 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)$ .

$- \frac{144 (- 1 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 4.23.13

Multipliez $\frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$ par $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$ .

$\frac{144 (5 x^{4} - 30 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{5}}$