Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 - \tan (\frac{x}{4}) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 d x + \int - \tan (\frac{x}{4}) d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$2 x + C + \int - \tan (\frac{x}{4}) d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 x + C - \int \tan (\frac{x}{4}) d x$

Étape 4

Laissez $u = \frac{x}{4}$ . Alors $d u = \frac{1}{4} d x$ , donc $4 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \frac{x}{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 x + C - \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{4}$ .

$2 x + C - \int \tan (u) (1 \cdot 4) d u$

Étape 5.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 x + C - \int \tan (u) \cdot 4 d u$

Étape 5.3

Déplacez $4$ à gauche de $\tan (u)$ .

$2 x + C - \int 4 \tan (u) d u$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 x + C - (4 \int \tan (u) d u)$

Étape 7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 x + C - 4 \int \tan (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sec (u) |)$ .

$2 x + C - 4 (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$2 x - 4 \ln (| \sec (u) |) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$2 x - 4 \ln (| \sec (\frac{x}{4}) |) + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x - 4 \ln (| \sec (\frac{1}{4} x) |) + C$