Calcul infinitésimal Exemples

$\int 24 \sqrt[3]{x^{5}} - \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 24 \sqrt[3]{x^{5}} d x + \int - \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Étape 2

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , placez $24$ en dehors de l’intégrale.

$24 \int \sqrt[3]{x^{5}} d x + \int - \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{5}}$ comme $x^{\frac{5}{3}}$ .

$24 \int x^{\frac{5}{3}} d x + \int - \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{5}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$24 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) + \int - \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$24 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) - \int \frac{24}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Étape 6

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , placez $24$ en dehors de l’intégrale.

$24 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) - (24 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{3}{8}$ et $x^{\frac{8}{3}}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - (24 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x)$

Étape 7.1.2

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{5}}$ comme $x^{\frac{5}{3}}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d x$

Étape 7.2.2

Retirez $x^{\frac{5}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d x$

Étape 7.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int x^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d x$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $- 1$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d x$

Étape 7.2.3.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int x^{\frac{- 5}{3}} d x$

Étape 7.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 \int x^{- \frac{5}{3}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{5}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} x^{- \frac{2}{3}}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{2}{3}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $x^{- \frac{2}{3}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 3}{2} + C)$

Étape 9.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 (- \frac{3 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{2} + C)$

Étape 9.1.3

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 24 (- \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C)$

Étape 9.2

Simplifiez

$9 x^{\frac{8}{3}} - 24 (- \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$9 x^{\frac{8}{3}} + 24 \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Étape 9.3.2

Associez $24$ et $\frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{24 \cdot 3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Étape 9.3.3

Multipliez $24$ par $3$ .

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{72}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Étape 9.3.4

Factorisez $2$ à partir de $72$ .

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 36}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Étape 9.3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 36}{2 (x^{\frac{2}{3}})} + C$

Étape 9.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 36}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

Étape 9.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$9 x^{\frac{8}{3}} + \frac{36}{x^{\frac{2}{3}}} + C$