Calcul infinitésimal Exemples

$\int 15 x \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} d x$

Étape 1

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 15 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x) + 2 \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 15 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + 1} + 2 \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 15 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 15 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 15 x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

Étape 3

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , placez $15$ en dehors de l’intégrale.

$15 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 2 \sqrt{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int 2 \sqrt{x} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int \sqrt{x} d x$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$15 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

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$15 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2

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Étape 8.2.1

Associez $15$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{15 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $15$ par $2$ .

$\frac{30}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun à $30$ et $5$ .

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Étape 8.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $30$ .

$\frac{5 \cdot 6}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 6}{5 (1)} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{1} x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.3.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8.2.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$