Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{6} + e^{3 x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{6} d x + \int e^{3 x} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int e^{3 x} d x$

Étape 3

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{3} e^{u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$