Calcul infinitésimal Exemples

$\int (1 + x^{2}) (2 - x) d x$

Étape 1

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 (2 - x) + x^{2} (2 - x) d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 \cdot 2 + 1 (- x) + x^{2} (2 - x) d x$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 \cdot 2 + 1 (- x) + x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x) d x$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $2$ .

$\int 1 \cdot 2 + 1 \cdot - 1 x + 2 \cdot x^{2} + x^{2} (- x) d x$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $- 1$ .

$\int 1 \cdot 2 + 1 \cdot - 1 x + 2 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x d x$

Étape 1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int 2 + 1 \cdot - 1 x + 2 x^{2} - 1 x^{2} x d x$

Étape 1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int 2 - x + 2 x^{2} - 1 x^{2} x d x$

Étape 1.8

Factorisez le signe négatif.

$\int 2 - x + 2 x^{2} - (x^{2} x) d x$

Étape 1.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 2 - x + 2 x^{2} - (x^{2} x^{1}) d x$

Étape 1.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 - x + 2 x^{2} - x^{2 + 1} d x$

Étape 1.11

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 2 - x + 2 x^{2} - x^{3} d x$

Étape 1.12

Remettez dans l’ordre $2$ et $- x$ .

$\int - x + 2 + 2 x^{2} - x^{3} d x$

Étape 1.13

Remettez dans l’ordre $2 x^{2}$ et $- x^{3}$ .

$\int - x + 2 - x^{3} + 2 x^{2} d x$

Étape 1.14

Déplacez $2$ .

$\int - x - x^{3} + 2 x^{2} + 2 d x$

Étape 1.15

Déplacez $- x$ .

$\int - x^{3} + 2 x^{2} - x + 2 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - x^{3} d x + \int 2 x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int x^{3} d x + \int 2 x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 \int x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - x d x + \int 2 d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int x d x + \int 2 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Étape 10

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Étape 10.1

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Étape 10.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Étape 10.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Étape 10.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Étape 10.2

Simplifiez

$- \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C$