Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{t^{2}}{2} - \frac{2}{t^{2}} d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{t^{2}}{2} d t + \int - \frac{2}{t^{2}} d t$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int t^{2} d t + \int - \frac{2}{t^{2}} d t$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int - \frac{2}{t^{2}} d t$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - \int \frac{2}{t^{2}} d t$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - (2 \int \frac{1}{t^{2}} d t)$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 2 \int \frac{1}{t^{2}} d t$

Étape 6.2

Retirez $t^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 2 \int {(t^{2})}^{- 1} d t$

Étape 6.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 2 \int t^{2 \cdot - 1} d t$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 2 \int t^{- 2} d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 2}$ par rapport à $t$ est $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} t^{3} + C) - 2 (- t^{- 1} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} t^{3} - 2 (- t^{- 1}) + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} t^{3} - 2 (- t^{- 1}) + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{6} t^{3} - 2 (- t^{- 1}) + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1}{6} t^{3} + 2 t^{- 1} + C$