Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{t^{3}}{3} + \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{t^{3}}{3} d t + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Étape 2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int t^{3} d t + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \int \frac{1}{4 t^{2}} d t$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{t^{2}} d t$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $t^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int {(t^{2})}^{- 1} d t$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int t^{2 \cdot - 1} d t$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} \int t^{- 2} d t$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 2}$ par rapport à $t$ est $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \frac{1}{4} (- t^{- 1} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{12} t^{4} + \frac{1}{4} (- t^{- 1}) + C$

Étape 7.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $t^{- 1}$ .

$\frac{1}{12} t^{4} - \frac{t^{- 1}}{4} + C$

Étape 7.2.4

Placez $t^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{12} t^{4} - \frac{1}{4 t} + C$