Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x^{2} + 5 x + 6) \cos (2 x) d x$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} \cos (2 x) + 5 x \cos (2 x) + 6 \cos (2 x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} \cos (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \cos (2 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 4

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 4.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (1 \int \sin (2 x) (x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 6.3

Multipliez $\int \sin (2 x) (x) d x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) (x) d x + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 8.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 8.3

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 10

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 10.2

Multipliez $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 12

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 12.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 12.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 12.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 13

Associez $\cos (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 15

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Étape 15.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 15.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 16

L’intégrale de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sin (u_{1})$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + \int 5 x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 17

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 \int x \cos (2 x) d x + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 18

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 19

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Étape 19.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 19.2

Associez $x$ et $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 19.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 20

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 21

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 21.1

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 21.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 21.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 21.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 21.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 21.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 22

Associez $\sin (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 23

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2})) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 24

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Étape 24.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 24.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 25

L’intégrale de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \int 6 \cos (2 x) d x$

Étape 26

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \cos (2 x) d x$

Étape 27

Laissez $u_{3} = 2 x$ . Alors $d u_{3} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 27.1

Laissez $u_{3} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 27.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 27.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 27.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 27.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 27.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 28

Associez $\cos (u_{3})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}$

Étape 29

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 6 (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3})$

Étape 30

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Étape 30.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{6}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 30.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 30.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + \frac{3}{1} \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 30.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 3 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Étape 31

L’intégrale de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sin (u_{3})$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u_{1}) + C)) + 5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C)) + 3 (\sin (u_{3}) + C)$

Étape 32

Simplifiez

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u_{1})}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (u_{2})}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

Étape 33

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 33.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (u_{2})}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

Étape 33.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (2 x)}{4} + 3 \sin (u_{3}) + C$

Étape 33.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{5 x \sin (2 x)}{2} + \frac{5 \cos (2 x)}{4} + 3 \sin (2 x) + C$

Étape 34

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x \cos (2 x) - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{5}{2} x \sin (2 x) + \frac{5}{4} \cos (2 x) + 3 \sin (2 x) + C$