Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{r} - \frac{1}{r^{3}} d r$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sqrt{r} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{r}$ comme $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\int r^{\frac{1}{2}} d r + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $r^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $r$ est $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C + \int - \frac{1}{r^{3}} d r$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $r$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int \frac{1}{r^{3}} d r$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $r^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int {(r^{3})}^{- 1} d r$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(r^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{3 \cdot - 1} d r$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - \int r^{- 3} d r$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $r^{- 3}$ par rapport à $r$ est $- \frac{1}{2} r^{- 2}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2} r^{- 2} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

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Étape 7.1.1

Associez $r^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{r^{- 2}}{2} + C)$

Étape 7.1.2

Placez $r^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C - (- \frac{1}{2 r^{2}} + C)$

Étape 7.2

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$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} - - \frac{1}{2 r^{2}} + C$

Étape 7.3

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 r^{2}} + C$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{2 r^{2}}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 r^{2}} + C$