Calcul infinitésimal Exemples

$\int t^{3} + e^{5 t} d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int t^{3} d t + \int e^{5 t} d t$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{5 t} d t$

Étape 3

Laissez $u = 5 t$ . Alors $d u = 5 d t$ , donc $\frac{1}{5} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 5 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Étape 3.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Étape 4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 t$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{5} e^{5 t} + C$