Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{8 x} + e^{- 9 x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{8 x} d x + \int e^{- 9 x} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 8 x$ . Alors $d u_{1} = 8 d x$ , donc $\frac{1}{8} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 8 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 2.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{8} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

Étape 3

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{8} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{- 9 x} d x$

Étape 6

Laissez $u_{2} = - 9 x$ . Alors $d u_{2} = - 9 d x$ , donc $- \frac{1}{9} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = - 9 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Étape 6.1.2

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 9$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 9} d u_{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{9}) d u_{2}$

Étape 7.2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{9} d u_{2}$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - \int \frac{e^{u_{2}}}{9} d u_{2}$

Étape 9

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - (\frac{1}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{9} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{8} e^{u_{1}} - \frac{1}{9} e^{u_{2}} + C$

Étape 12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 12.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $8 x$ .

$\frac{1}{8} e^{8 x} - \frac{1}{9} e^{u_{2}} + C$

Étape 12.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 9 x$ .

$\frac{1}{8} e^{8 x} - \frac{1}{9} e^{- 9 x} + C$