Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(1 + \sin (x))}^{\frac{5}{2}} \cos (x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{\frac{5}{2}} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \sin (x)$ .

$\frac{2}{7} {(1 + \sin (x))}^{\frac{7}{2}} + C$