Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x + 4) \sqrt{3 - x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x + 4$ et $d v = \sqrt{3 - x}$ .

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} \int {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 3

Laissez $u = 3 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 3 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $3 - x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - x]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 3.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

Étape 6

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Étape 6.1

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Étape 6.1.1

Associez ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$(x + 4) (- \frac{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

Étape 6.1.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 4) (- \frac{2 \cdot {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

Étape 6.1.3

Associez $\frac{2}{5}$ et $u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)))$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (1 (\frac{2}{3}) (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Étape 6.1.5

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Étape 6.2

Réécrivez $(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$ comme $- x \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$- x \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 6.3

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Étape 6.3.1

Associez $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $x$ .

$- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Étape 6.3.4

Multipliez $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5 \cdot 3} + C$

Étape 6.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Étape 6.3.6

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - x$ .

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {(3 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} (- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(3 - x)}^{\frac{5}{2}} + C$