Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x - 1) \sin (π x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x - 1$ et $d v = \sin (π x)$ .

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) d x$

Étape 2

Comme $- \frac{1}{π}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $\cos (π x)$ et $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + 1 (\frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x$

Étape 4

Laissez $u = π x$ . Alors $d u = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = π x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 4.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Étape 5

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

Étape 7

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π π} \int \cos (u) d u$

Étape 7.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π} \int \cos (u) d u$

Étape 7.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \cos (u) d u$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \cos (u) d u$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} \int \cos (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Réécrivez $(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$ comme $- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$ .

$- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

Étape 9.2

Associez $\frac{\cos (π x)}{π}$ et $x$ .

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

Étape 11

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Étape 11.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (π x) x}{π}$ .

$- \frac{x \cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

Étape 11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{π} x \cos (π x) + \frac{1}{π} \cos (π x) + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$