Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{\cos^{4} (x) \cdot 1}{\sin^{6} (x)} d x$

Étape 1.2

Factorisez $\sin^{4} (x)$ à partir de $\sin^{6} (x)$ .

$\int \frac{\cos^{4} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x) \sin^{2} (x)} d x$

Étape 1.3

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

Étape 1.4

Convertissez de $\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{4} (x)}$ à $\cot^{4} (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot^{4} (x) d x$

Étape 1.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cot^{4} (x) d x$

Étape 1.6

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cot^{4} (x) d x$

Étape 1.7

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) \cot^{4} (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = \cot (x)$ . Alors $d u = - \csc^{2} (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \cot (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - 1 u^{4} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int u^{4} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 5

Réécrivez $- (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ comme $- \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$- \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cot (x)$ .

$- \frac{1}{5} \cot^{5} (x) + C$