Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{e^{x}}{1 - e^{x}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - e^{x}$ . Alors $d u = - e^{x} d x$ , donc $- \frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - e^{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 - e^{x}$

Étape 1.1.4

Soustrayez $e^{x}$ de $0$ .

$- e^{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - e^{x}$ .

$- \ln (| 1 - e^{x} |) + C$