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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3
Étape 3.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3
Évaluez .
Étape 3.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 5
Divisez chaque terme dans l’équation par .
Étape 6
Étape 6.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2
Réécrivez l’expression.
Étape 7
Séparez les fractions.
Étape 8
Convertissez de à .
Étape 9
Divisez par .
Étape 10
Séparez les fractions.
Étape 11
Convertissez de à .
Étape 12
Divisez par .
Étape 13
Multipliez par .
Étape 14
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 15
Étape 15.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 15.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 15.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 15.2.2
Divisez par .
Étape 15.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 15.3.1
Divisez par .
Étape 16
Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur de la tangente.
Étape 17
Étape 17.1
La valeur exacte de est .
Étape 18
La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 19
Étape 19.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 19.2
Associez les fractions.
Étape 19.2.1
Associez et .
Étape 19.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 19.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 19.3.1
Déplacez à gauche de .
Étape 19.3.2
Additionnez et .
Étape 20
La solution de l’équation est .
Étape 21
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 22
Étape 22.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 22.1.1
La valeur exacte de est .
Étape 22.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 22.2
Simplifiez les termes.
Étape 22.2.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 22.2.2
Soustrayez de .
Étape 22.2.3
Annulez le facteur commun à et .
Étape 22.2.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 22.2.3.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 22.2.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 22.2.3.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 22.2.3.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 22.2.3.2.4
Divisez par .
Étape 23
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 24
Étape 24.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 24.2
Simplifiez le résultat.
Étape 24.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 24.2.1.1
La valeur exacte de est .
Étape 24.2.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 24.2.2
Simplifiez les termes.
Étape 24.2.2.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 24.2.2.2
Additionnez et .
Étape 24.2.2.3
Annulez le facteur commun de .
Étape 24.2.2.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 24.2.2.3.2
Divisez par .
Étape 24.2.3
La réponse finale est .
Étape 25
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 26
Étape 26.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 26.1.1
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.
Étape 26.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 26.1.3
Multipliez .
Étape 26.1.3.1
Multipliez par .
Étape 26.1.3.2
Multipliez par .
Étape 26.1.4
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.
Étape 26.1.5
La valeur exacte de est .
Étape 26.1.6
Multipliez .
Étape 26.1.6.1
Multipliez par .
Étape 26.1.6.2
Multipliez par .
Étape 26.2
Simplifiez les termes.
Étape 26.2.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 26.2.2
Additionnez et .
Étape 26.2.3
Annulez le facteur commun de .
Étape 26.2.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 26.2.3.2
Divisez par .
Étape 27
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 28
Étape 28.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 28.2
Simplifiez le résultat.
Étape 28.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 28.2.1.1
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.
Étape 28.2.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 28.2.1.3
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.
Étape 28.2.1.4
La valeur exacte de est .
Étape 28.2.2
Simplifiez les termes.
Étape 28.2.2.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 28.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 28.2.2.3
Annulez le facteur commun à et .
Étape 28.2.2.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 28.2.2.3.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 28.2.2.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 28.2.2.3.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 28.2.2.3.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 28.2.2.3.2.4
Divisez par .
Étape 28.2.3
La réponse finale est .
Étape 29
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
Étape 30