Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Étape 1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Étape 1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.4.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.3.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 3.5

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \sec^{2} (x)}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (0)}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{1 + \sec^{2} (0)}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{1 + 1^{2}}$

Étape 11.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1 + 1}$

Étape 11.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2}$