Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Étape 1.2.1.2

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Étape 1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Étape 1.3.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 3.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 3.6

Déplacez $7$ à gauche de $\cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 3.7

Multipliez $7$ par $\cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.8.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)}$

Étape 3.11

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

Étape 3.12

Déplacez $3$ à gauche de $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \cdot \sec^{2} (3 x)}$

Étape 3.13

Multipliez $3$ par $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \sec^{2} (3 x)}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{7}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x)}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Étape 7

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (3 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Étape 10

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez.

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 12.2

Factorisez $\sec (3 \cdot 0)$ à partir de $\sec^{2} (3 \cdot 0)$ .

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 (\sec (3 \cdot 0) \sec (3 \cdot 0))}$

Étape 12.3

Séparez les fractions.

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec (3 \cdot 0)}$

Étape 12.4

Réécrivez $\sec (3 \cdot 0)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}}$

Étape 12.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ .

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

Étape 12.6

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

Étape 12.7

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (3 \cdot 0))$

Étape 12.8

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Étape 12.9

Séparez les fractions.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Étape 12.10

Réécrivez $\sec (0)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}} (\cos (0) \cos (0))$

Étape 12.11

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$\frac{7}{3} (1 \cos (0)) (\cos (0) \cos (0))$

Étape 12.12

Multipliez $\cos (0)$ par $1$ .

$\frac{7}{3} \cos (0) (\cos (0) \cos (0))$

Étape 12.13

Multipliez $\cos (0)$ par $\cos (0)$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.13.1

Déplacez $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos (0)) \cos (0)$

Étape 12.13.2

Multipliez $\cos (0)$ par $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} \cos^{2} (0) \cos (0)$

Étape 12.14

Multipliez $\cos^{2} (0)$ par $\cos (0)$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.14.1

Déplacez $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos^{2} (0))$

Étape 12.14.2

Multipliez $\cos (0)$ par $\cos^{2} (0)$ .

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Étape 12.14.2.1

Élevez $\cos (0)$ à la puissance $1$ .

$\frac{7}{3} (\cos^{1} (0) \cos^{2} (0))$

Étape 12.14.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7}{3} {\cos (0)}^{1 + 2}$

Étape 12.14.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{7}{3} \cos^{3} (0)$

Étape 12.15

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{7}{3} \cdot 1^{3}$

Étape 12.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{7}{3} \cdot 1$

Étape 12.17

Multipliez $\frac{7}{3}$ par $1$ .

$\frac{7}{3}$