Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.6.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (- 1 e^{- x})}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.4.9

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (x)}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 6

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 7

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 8

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (0)}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 + e^{0}}{\cos (0)}$

Étape 11.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 + 1}{\cos (0)}$

Étape 11.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{\cos (0)}$

Étape 11.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{2}{1}$

Étape 11.3

Divisez $2$ par $1$ .

$2$