Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer à l'aide de la règle de l'Hôpital limite lorsque x approche de 1 de ( logarithme népérien de x^2)/(x^2-1)
Étape 1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
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Étape 1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.2
Évaluez la limite du numérateur.
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Étape 1.2.1
Évaluez la limite.
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Étape 1.2.1.1
Placez la limite à l’intérieur du logarithme.
Étape 1.2.1.2
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.2.3
Simplifiez la réponse.
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Étape 1.2.3.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.2.3.2
Le logarithme naturel de est .
Étape 1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
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Étape 1.3.1
Évaluez la limite.
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Étape 1.3.1.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.3.1.2
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 1.3.1.3
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.3.3
Simplifiez la réponse.
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Étape 1.3.3.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 1.3.3.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.3.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.3.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.3.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
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Étape 3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
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Étape 3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.4
Associez et .
Étape 3.5
Associez et .
Étape 3.6
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 3.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.6.2
Annulez les facteurs communs.
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Étape 3.6.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.6.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.6.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.7
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.8
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.9
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.10
Additionnez et .
Étape 4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 5
Combinez les facteurs.
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Étape 5.1
Multipliez par .
Étape 5.2
Élevez à la puissance .
Étape 5.3
Élevez à la puissance .
Étape 5.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.5
Additionnez et .
Étape 6
Évaluez la limite.
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Étape 6.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 6.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 6.3
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 6.4
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 7
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 8
Simplifiez la réponse.
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Étape 8.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 8.2
Divisez par .