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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 1.2.1
Évaluez la limite.
Étape 1.2.1.1
Placez la limite à l’intérieur du logarithme.
Étape 1.2.1.2
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.2.3
Simplifiez la réponse.
Étape 1.2.3.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.2.3.2
Le logarithme naturel de est .
Étape 1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 1.3.1
Évaluez la limite.
Étape 1.3.1.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.3.1.2
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 1.3.1.3
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.3.3
Simplifiez la réponse.
Étape 1.3.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.3.3.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.3.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.3.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.3.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 3
Étape 3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.4
Associez et .
Étape 3.5
Associez et .
Étape 3.6
Annulez le facteur commun à et .
Étape 3.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.6.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 3.6.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.6.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.6.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.7
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.8
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.9
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.10
Additionnez et .
Étape 4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 5
Étape 5.1
Multipliez par .
Étape 5.2
Élevez à la puissance .
Étape 5.3
Élevez à la puissance .
Étape 5.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.5
Additionnez et .
Étape 6
Étape 6.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 6.3
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 6.4
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 7
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 8
Étape 8.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 8.2
Divisez par .