Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{8} k (6 k + 7)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$k (6 k) + k \cdot 7$

Étape 1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 k \cdot k + k \cdot 7$

Étape 1.3

Déplacez $7$ à gauche de $k$ .

$6 k \cdot k + 7 \cdot k$

Étape 1.4

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Déplacez $k$ .

$6 (k \cdot k) + 7 \cdot k$

Étape 1.4.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$6 k^{2} + 7 \cdot k$

$6 k^{2} + 7 k$

Étape 1.5

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k = 6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 7 \sum_{k = 1}^{8} k$

Étape 3

Évaluez $6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(6) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$6 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $8$ par $9$ .

$6 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$6 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $16$ et $1$ .

$6 \frac{72 \cdot 17}{6}$

Étape 3.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multipliez $72$ par $17$ .

$6 (\frac{1224}{6})$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{1224}{6})$

Étape 3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1224$

Étape 4

Évaluez $7 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(7) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$7 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $8$ par $9$ .

$7 (\frac{72}{2})$

Étape 4.3.3

Divisez $72$ par $2$ .

$7 \cdot 36$

Étape 4.3.4

Multipliez $7$ par $36$ .

$252$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$1224 + 252$

Étape 6

Additionnez $1224$ et $252$ .

$1476$