Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{1}{7})}^{k}$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

${(- \frac{1}{7})}^{1} + {(- \frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Simplifiez

$- \frac{1}{7} + {(- \frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{7} + 1 \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{1^{2}}{7^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.6

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.10

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- 1)}^{4} {(\frac{1}{7})}^{4}$

Étape 2.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Étape 2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + 1 \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Étape 2.1.13

Multipliez $\frac{1^{4}}{7^{4}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Étape 2.1.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{7^{4}}$

Étape 2.1.15

Élevez $7$ à la puissance $4$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{343}{343}$ .

$- (\frac{1}{7} \cdot \frac{343}{343}) + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{343}{343}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{1}{49}$ par $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{1}{49} \cdot \frac{49}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{1}{49}$ par $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{1}{343}$ par $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - (\frac{1}{343} \cdot \frac{7}{7}) + \frac{1}{2401}$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{1}{343}$ par $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Étape 2.2.7

Multipliez $7$ par $343$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Étape 2.2.8

Multipliez $49$ par $49$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Étape 2.2.9

Réorganisez les facteurs de $343 \cdot 7$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{7 \cdot 343} + \frac{1}{2401}$

Étape 2.2.10

Multipliez $7$ par $343$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{2401} + \frac{1}{2401}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 343 + 49 - 7 + 1}{2401}$

Étape 2.4

Additionnez $- 343$ et $49$ .

$\frac{- 294 - 7 + 1}{2401}$

Étape 2.5

Soustrayez $7$ de $- 294$ .

$\frac{- 301 + 1}{2401}$

Étape 2.6

Additionnez $- 301$ et $1$ .

$\frac{- 300}{2401}$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{300}{2401}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{300}{2401}$

Forme décimale :

$- 0.12494793 \dots$