Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

Étape 1.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

Étape 1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $k$ .

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

Étape 1.4

Développez $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

Étape 1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Étape 1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $k^{2}$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1.1

Multipliez $k^{2}$ par $k$ .

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Étape 1.5.1.1.1.1

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Étape 1.5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Étape 1.5.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Étape 1.5.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $k^{2}$ .

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.3.1

Déplacez $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

Étape 1.5.1.3.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

Étape 1.5.2

Soustrayez $2 k^{2}$ de $2 k^{2}$ .

$k^{3} + 0 - 4 k$

Étape 1.5.3

Additionnez $k^{3}$ et $0$ .

$k^{3} - 4 k$

Étape 1.6

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $3$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $30$ et $1$ .

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.2

Élevez $30$ à la puissance $2$ .

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.3

Élevez $31$ à la puissance $2$ .

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $900$ par $961$ .

$\frac{864900}{4}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $864900$ par $4$ .

$216225$

Étape 4

Évaluez $4 \sum_{k = 1}^{30} k$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $30$ et $1$ .

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $30$ par $31$ .

$- 4 (\frac{930}{2})$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \cdot 930$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 2$ par $930$ .

$- 1860$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$216225 - 1860$

Étape 6

Soustrayez $1860$ de $216225$ .

$214365$