Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{6} 2 {(5)}^{n}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{2 \cdot 5^{n + 1}}{2 \cdot 5^{n}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{2 \cdot 5^{n + 1}}{2 \cdot 5^{n}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{5^{n + 1}}{5^{n}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $5^{n + 1}$ et $5^{n}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $5^{n}$ à partir de $5^{n + 1}$ .

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{5^{n} \cdot 5}{5^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{5}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$r = 5$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $n$ par $1$ dans $2 {(5)}^{n}$ .

$a = 2 \cdot 5^{1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Évaluez l’exposant.

$a = 2 \cdot 5$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$a = 10$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$10 \frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $6$ .

$10 \frac{1 - 1 \cdot 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $15625$ .

$10 \frac{1 - 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $15625$ de $1$ .

$10 \frac{- 15624}{1 - 1 \cdot 5}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$10 \frac{- 15624}{1 - 5}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$10 (\frac{- 15624}{- 4})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$2 (5) \frac{- 15624}{- 4}$

Étape 5.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 \cdot 5 \frac{- 15624}{2 \cdot - 2}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 5 \frac{- 15624}{2 \cdot - 2}$

Étape 5.3.4

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{- 15624}{- 2})$

Étape 5.4

Associez $5$ et $\frac{- 15624}{- 2}$ .

$\frac{5 \cdot - 15624}{- 2}$

Étape 5.5

Multipliez $5$ par $- 15624$ .

$\frac{- 78120}{- 2}$

Étape 5.6

Divisez $- 78120$ par $- 2$ .

$39060$