Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 0}^{10} 4 {(\frac{1}{2})}^{k}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ et ${(\frac{1}{2})}^{k}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{1}{2})}^{k}$ à partir de ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $k$ par $0$ dans $4 {(\frac{1}{2})}^{k}$ .

$a = 4 {(\frac{1}{2})}^{0}$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$a = 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Étape 3.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 4 \frac{1}{2^{0}}$

Étape 3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = 4 \cdot 1$

Étape 3.2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$a = 4$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}})$

Étape 5.1.2

Associez.

$4 \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 \frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{2 + 2 (- \frac{1^{11}}{2^{11}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1^{11}}{2^{11}}$ dans le numérateur.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2^{11}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2^{11}$ .

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{2 + \frac{- 1^{11}}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.5

Élevez $2$ à la puissance $10$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 \frac{2 - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.8

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{2 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.9

Associez $2$ et $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.11

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.11.1

Multipliez $2$ par $1024$ .

$4 \frac{\frac{2048 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.11.2

Soustrayez $1$ de $2048$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 - 1}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{1}$

Étape 5.6

Divisez $\frac{2047}{1024}$ par $1$ .

$4 (\frac{2047}{1024})$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1

Factorisez $4$ à partir de $1024$ .

$4 \frac{2047}{4 (256)}$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{2047}{4 \cdot 256}$

Étape 5.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2047}{256}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2047}{256}$

Forme décimale :

$7.99609375$

Forme de nombre mixte :

$7 \frac{255}{256}$