Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(i - 1)}^{2}$ comme $(i - 1) (i - 1)$ .

$i ((i - 1) (i - 1))$

Étape 1.2

Développez $(i - 1) (i - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $i$ par $i$ .

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $i$ .

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$i (i^{2} - i - i + 1)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $i$ de $- i$ .

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $i$ par $i^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $i$ par $i^{2}$ .

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Étape 1.5.1.1.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Étape 1.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Étape 1.5.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Étape 1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

Étape 1.6

Multipliez $i$ par $i$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1

Déplacez $i$ .

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

Étape 1.6.2

Multipliez $i$ par $i$ .

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

Étape 1.7

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

Étape 3

Évaluez $\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $3$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $22$ et $1$ .

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.2

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

Étape 3.3.1.3

Élevez $23$ à la puissance $2$ .

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $484$ par $529$ .

$\frac{256036}{4}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $256036$ par $4$ .

$64009$

Étape 4

Évaluez $2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $22$ et $1$ .

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $22$ par $23$ .

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $22$ .

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $44$ et $1$ .

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

Étape 4.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $506$ par $45$ .

$- 2 (\frac{22770}{6})$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

Étape 4.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 (\frac{22770}{3})$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.3.1

Divisez $22770$ par $3$ .

$- 1 \cdot 7590$

Étape 4.3.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $7590$ .

$- 7590$

Étape 5

Évaluez $\sum_{i = 1}^{22} i$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $22$ et $2$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $22 (22 + 1)$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

Étape 5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

Étape 5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

Étape 5.3.1.2.4

Divisez $11 (22 + 1)$ par $1$ .

$11 (22 + 1)$

Étape 5.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.2.1

Additionnez $22$ et $1$ .

$11 \cdot 23$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $11$ par $23$ .

$253$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$64009 - 7590 + 253$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez $7590$ de $64009$ .

$56419 + 253$

Étape 7.2

Additionnez $56419$ et $253$ .

$56672$