Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{8} - 4 k^{2} + 6 k$

Étape 1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{8} - 4 k^{2} + 6 k = - 4 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 6 \sum_{k = 1}^{8} k$

Étape 2

Évaluez $4 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ .

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Étape 2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 4) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$- 4 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Étape 2.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $8$ par $9$ .

$- 4 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$- 4 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

Étape 2.3.1.3

Additionnez $16$ et $1$ .

$- 4 \frac{72 \cdot 17}{6}$

Étape 2.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $72$ par $17$ .

$- 4 (\frac{1224}{6})$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{1224}{6}$

Étape 2.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \cdot - 2 \frac{1224}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 2 \frac{1224}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 (\frac{1224}{3})$

Étape 2.3.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{1224}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 1224}{3}$

Étape 2.3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $1224$ .

$\frac{- 2448}{3}$

Étape 2.3.2.4.2

Divisez $- 2448$ par $3$ .

$- 816$

Étape 3

Évaluez $6 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(6) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$6 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $8$ par $9$ .

$6 (\frac{72}{2})$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{72}{2}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{72}{2}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 72$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $72$ .

$216$

Étape 4

Additionnez les résultats des additions.

$- 816 + 216$

Étape 5

Additionnez $- 816$ et $216$ .

$- 600$