Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{4} {(k + 7)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(k + 7)}^{2}$ comme $(k + 7) (k + 7)$ .

$(k + 7) (k + 7)$

Étape 1.2

Développez $(k + 7) (k + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$k (k + 7) + 7 (k + 7)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot 7 + 7 (k + 7)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot 7 + 7 k + 7 \cdot 7$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$k^{2} + k \cdot 7 + 7 k + 7 \cdot 7$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $k$ .

$k^{2} + 7 \cdot k + 7 k + 7 \cdot 7$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $7$ par $7$ .

$k^{2} + 7 k + 7 k + 49$

Étape 1.3.2

Additionnez $7 k$ et $7 k$ .

$k^{2} + 14 k + 49$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{4} k^{2} + 14 k + 49$

Étape 2

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$1^{2} + 14 \cdot 1 + 49 + 2^{2} + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 14 \cdot 1 + 49 + 2^{2} + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.2

Multipliez $14$ par $1$ .

$1 + 14 + 49 + 2^{2} + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.3

Additionnez $1$ et $14$ .

$15 + 49 + 2^{2} + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.4

Additionnez $15$ et $49$ .

$64 + 2^{2} + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$64 + 4 + 14 \cdot 2 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.6

Multipliez $14$ par $2$ .

$64 + 4 + 28 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.7

Additionnez $4$ et $28$ .

$64 + 32 + 49 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.8

Additionnez $32$ et $49$ .

$64 + 81 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.9

Additionnez $64$ et $81$ .

$145 + 3^{2} + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$145 + 9 + 14 \cdot 3 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.11

Multipliez $14$ par $3$ .

$145 + 9 + 42 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.12

Additionnez $9$ et $42$ .

$145 + 51 + 49 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.13

Additionnez $51$ et $49$ .

$145 + 100 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.14

Additionnez $145$ et $100$ .

$245 + 4^{2} + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.15

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$245 + 16 + 14 \cdot 4 + 49$

Étape 3.16

Multipliez $14$ par $4$ .

$245 + 16 + 56 + 49$

Étape 3.17

Additionnez $16$ et $56$ .

$245 + 72 + 49$

Étape 3.18

Additionnez $72$ et $49$ .

$245 + 121$

Étape 3.19

Additionnez $245$ et $121$ .

$366$