Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $j$ égale à $1$ .

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

Étape 2.2

Évaluez $6 \sum_{j = 1}^{30} j$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1.1

Additionnez $30$ et $1$ .

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $30$ par $31$ .

$6 (\frac{930}{2})$

Étape 2.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{930}{2}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

Étape 2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 930$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $3$ par $930$ .

$2790$

Étape 2.3

Évaluez $\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $- \frac{4}{3}$ dans l’addition.

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

Étape 2.3.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.3.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.1.1

Additionnez $30$ et $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Étape 2.3.4.1.2

Associez les exposants.

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Étape 2.3.4.1.2.1

Multipliez $30$ par $31$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Étape 2.3.4.1.2.2

Multipliez $2$ par $30$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

Étape 2.3.4.1.3

Additionnez $60$ et $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $930$ par $61$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Étape 2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Étape 2.3.4.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Étape 2.3.4.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.4.2.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.4.2.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

Étape 2.3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.4.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $56730$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

Étape 2.3.4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

Étape 2.3.4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (\frac{18910}{3})$

Étape 2.3.4.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{18910}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

Étape 2.3.4.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $18910$ .

$\frac{- 37820}{3}$

Étape 2.3.4.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{37820}{3}$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$2790 - \frac{37820}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Pour écrire $2790$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

Étape 2.5.2

Associez $2790$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

Étape 2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $2790$ par $3$ .

$\frac{8370 - 37820}{3}$

Étape 2.5.4.2

Soustrayez $37820$ de $8370$ .

$\frac{- 29450}{3}$

Étape 2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{29450}{3}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $j$ .

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Étape 3.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$6 - \frac{4}{3}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 3.2.3

Associez $6$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

Étape 3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{18 - 4}{3}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $4$ de $18$ .

$\frac{14}{3}$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $14$ de $- 29450$ .

$\frac{- 29464}{3}$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{29464}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{29464}{3}$

Forme décimale :

$- 9821.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$- 9821 \frac{1}{3}$