Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (4 x + 9)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (4 x + 9)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (4 x + 9)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (4 x + 9)$ .

$2 \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x + 9$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x + 9$ .

$2 \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (4 x + 9) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x + 9$ .

$2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 1.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 1.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 1.3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 + 0)$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \cdot 4$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$

Étape 1.3.6.3

Réorganisez les facteurs de $8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$ .

$f' (x) = 8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (4 x + 9)$ et $g (x) = \sin (4 x + 9)$ .

$8 (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x + 9$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x + 9$ .

$8 (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$8 (\cos (4 x + 9) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x + 9$ .

$8 (\cos (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.4

Élevez $\cos (4 x + 9)$ à la puissance $1$ .

$8 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.5

Élevez $\cos (4 x + 9)$ à la puissance $1$ .

$8 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos^{1} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 ({\cos (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.7

Différenciez.

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Étape 2.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.7.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.7.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.7.6

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + 0) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.7.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.7.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) \cdot 4 + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.7.7.2

Déplacez $4$ à gauche de $\cos^{2} (4 x + 9)$ .

$8 (4 \cdot \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 x + 9$ .

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Étape 2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x + 9$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Étape 2.8.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x + 9$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Étape 2.9

Élevez $\sin (4 x + 9)$ à la puissance $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Étape 2.10

Élevez $\sin (4 x + 9)$ à la puissance $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin^{1} (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - {\sin (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Étape 2.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 2.14

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 2.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 2.16

Multipliez $4$ par $1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 2.17

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + 0))$

Étape 2.18

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.18.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \cdot 4)$

Étape 2.18.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Étape 2.19

Simplifiez

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Étape 2.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9)) + 8 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Étape 2.19.2

Associez des termes.

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Étape 2.19.2.1

Multipliez $4$ par $8$ .

$32 \cos^{2} (4 x + 9) + 8 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Étape 2.19.2.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$f'' (x) = 32 \cos^{2} (4 x + 9) - 32 \sin^{2} (4 x + 9)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $32 \cos^{2} (4 x + 9) - 32 \sin^{2} (4 x + 9)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 \cos^{2} (4 x + 9)$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (4 x + 9)]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (4 x + 9)$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (4 x + 9)$ .

$32 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$32 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (4 x + 9)$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 x + 9$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x + 9$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x + 9$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.7

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \cdot 1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.9

Additionnez $4$ et $0$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.10

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- 4 \sin (4 x + 9))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.11

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$32 (- 8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.2.12

Multipliez $- 8$ par $32$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 \sin^{2} (4 x + 9)$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x + 9)]$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x + 9)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (4 x + 9)$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\sin (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\sin (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x + 9$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $4 x + 9$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Étape 3.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $\cos (u_{4})$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $4 x + 9$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Étape 3.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9])))$

Étape 3.3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])))$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])))$

Étape 3.3.7

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + 0)))$

Étape 3.3.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 + 0)))$

Étape 3.3.9

Additionnez $4$ et $0$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \cdot 4))$

Étape 3.3.10

Déplacez $4$ à gauche de $\cos (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (4 \cdot \cos (4 x + 9)))$

Étape 3.3.11

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9))$

Étape 3.3.12

Multipliez $8$ par $- 32$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 256 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Réorganisez les facteurs de $- 256 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$ .

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

Étape 3.4.2

Soustrayez $256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ de $- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ .

$f''' (x) = - 512 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 512$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 512 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ par rapport à $x$ est $- 512 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$ .

$- 512 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$

Étape 4.2

$- 512 (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x + 9$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x + 9$ .

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x + 9$ .

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.4

Élevez $\cos (4 x + 9)$ à la puissance $1$ .

$- 512 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.5

Élevez $\cos (4 x + 9)$ à la puissance $1$ .

$- 512 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos^{1} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 512 ({\cos (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.7

Différenciez.

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Étape 4.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.7.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.7.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.7.6

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + 0) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.7.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.7.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) \cdot 4 + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.7.7.2

Déplacez $4$ à gauche de $\cos^{2} (4 x + 9)$ .

$- 512 (4 \cdot \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 x + 9$ .

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Étape 4.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x + 9$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Étape 4.8.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Étape 4.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x + 9$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

Étape 4.9

Élevez $\sin (4 x + 9)$ à la puissance $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Étape 4.10

Élevez $\sin (4 x + 9)$ à la puissance $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin^{1} (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Étape 4.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - {\sin (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Étape 4.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

Étape 4.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 4.14

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 4.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 4.16

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]))$

Étape 4.17

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + 0))$

Étape 4.18

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.18.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \cdot 4)$

Étape 4.18.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Étape 4.19

Simplifiez

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Étape 4.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9)) - 512 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Étape 4.19.2

Associez des termes.

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Étape 4.19.2.1

Multipliez $4$ par $- 512$ .

$- 2048 \cos^{2} (4 x + 9) - 512 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

Étape 4.19.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 512$ .

$f^{4} (x) = - 2048 \cos^{2} (4 x + 9) + 2048 \sin^{2} (4 x + 9)$