Calcul infinitésimal Exemples

$t^{3} - 27 t$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{3} - 27 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27 t]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 27 t]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 27 t]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 27$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 27 t$ par rapport à $t$ est $- 27 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 t^{2} - 27 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 t^{2} - 27 \cdot 1$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 27$ par $1$ .

$f' (t) = 3 t^{2} - 27$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} - 27$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 27]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 27]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 27]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 27]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 27]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 27$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 27$ par rapport à $t$ est $0$ .

$6 t + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $6 t$ et $0$ .

$f'' (t) = 6 t$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6 t$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f''' (t) = 6$

Étape 4

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f^{4} (t) = 0$