Calcul infinitésimal Exemples

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez ${\displaystyle u}$ comme ${\displaystyle x-1}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{du}\left[u^n\right]}$ est ${\displaystyle n{u}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=3}$.

Remplacez toutes les occurrences de ${\displaystyle u}$ par ${\displaystyle x-1}$.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle x-1}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}[-1]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=1}$.

Comme ${\displaystyle -1}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -1}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Simplifiez l’expression.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=4}$.

Déplacez ${\displaystyle 4}$ à gauche de ${\displaystyle {(x-1)}^3}$.

Factorisez ${\displaystyle x^3{(x-1)}^2}$ à partir de ${\displaystyle x^4\left(3{(x-1)}^2\right)+4{(x-1)}^3{x}^3}$.

Déplacez ${\displaystyle 3}$ à gauche de ${\displaystyle x}$.

Réécrivez ${\displaystyle {(x-1)}^2}$ comme ${\displaystyle (x-1)(x-1)}$.

Développez ${\displaystyle (x-1)(x-1)}$ à l’aide de la méthode FOIL.

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appliquez la propriété distributive.

Simplifiez

Multipliez ${\displaystyle x^3}$ par ${\displaystyle x}$ en additionnant les exposants.

Simplifiez chaque terme.

Additionnez ${\displaystyle 3x}$ et ${\displaystyle 4x}$.

Développez ${\displaystyle (x^5-2x^4+x^3)(7x-4)}$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

Simplifiez chaque terme.

Soustrayez ${\displaystyle 14x^5}$ de ${\displaystyle -4x^5}$.

Additionnez ${\displaystyle 8x^4}$ et ${\displaystyle 7x^4}$.

Comme ${\displaystyle 7}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 7x^6}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 7\frac{d}{dx}\left[x^6\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=6}$.

Multipliez ${\displaystyle 6}$ par ${\displaystyle 7}$.

Comme ${\displaystyle -18}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -18x^5}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle -18\frac{d}{dx}\left[x^5\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=5}$.

Multipliez ${\displaystyle 5}$ par ${\displaystyle -18}$.

Comme ${\displaystyle 15}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 15x^4}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 15\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=4}$.

Multipliez ${\displaystyle 4}$ par ${\displaystyle 15}$.

Comme ${\displaystyle -4}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -4x^3}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle -4\frac{d}{dx}\left[x^3\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=3}$.

Multipliez ${\displaystyle 3}$ par ${\displaystyle -4}$.

Comme ${\displaystyle 42}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 42x^5}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 42\frac{d}{dx}\left[x^5\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=5}$.

Multipliez ${\displaystyle 5}$ par ${\displaystyle 42}$.

Comme ${\displaystyle -90}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -90x^4}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle -90\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=4}$.

Multipliez ${\displaystyle 4}$ par ${\displaystyle -90}$.

Comme ${\displaystyle 60}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 60x^3}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 60\frac{d}{dx}\left[x^3\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=3}$.

Multipliez ${\displaystyle 3}$ par ${\displaystyle 60}$.

Comme ${\displaystyle -12}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -12x^2}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle -12\frac{d}{dx}\left[x^2\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=2}$.

Multipliez ${\displaystyle 2}$ par ${\displaystyle -12}$.