Calcul infinitésimal Exemples

${(2 x + 3)}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 2 x + 3$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 3$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 + 0)$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} \cdot 2$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (x) = 8 {(2 x + 3)}^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 {(2 x + 3)}^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 2 x + 3$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 3$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 3$ .

$8 (3 {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$24 ({(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} \cdot 2$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $2$ par $24$ .

$f'' (x) = 48 {(2 x + 3)}^{2}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(2 x + 3)}^{2}$ comme $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [48 ((2 x + 3) (2 x + 3))]$

Étape 3.2

Développez $(2 x + 3) (2 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))]$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)]$

Étape 3.3.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 12 x + 9)]$

Étape 3.4

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 (4 x^{2} + 12 x + 9)$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9]$ .

$48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9]$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 12 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$48 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$48 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $4$ .

$48 (8 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.9

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 (8 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$48 (8 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.11

Multipliez $12$ par $1$ .

$48 (8 x + 12 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.12

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$48 (8 x + 12 + 0)$

Étape 3.13

Additionnez $8 x + 12$ et $0$ .

$48 (8 x + 12)$

Étape 3.14

Simplifiez

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Étape 3.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$48 (8 x) + 48 \cdot 12$

Étape 3.14.2

Associez des termes.

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Étape 3.14.2.1

Multipliez $8$ par $48$ .

$384 x + 48 \cdot 12$

Étape 3.14.2.2

Multipliez $48$ par $12$ .

$f''' (x) = 384 x + 576$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $384 x + 576$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [384 x]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $384$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $384 x$ par rapport à $x$ est $384 \frac{d}{d x} [x]$ .

$384 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$384 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 4.2.3

Multipliez $384$ par $1$ .

$384 + \frac{d}{d x} [576]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme $576$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $576$ par rapport à $x$ est $0$ .

$384 + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $384$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 384$