Calcul infinitésimal Exemples

${(7 x + 3)}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 7 x + 3$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 x + 3]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 3]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x + 3$ .

$4 {(7 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 3]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(7 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(7 x + 3)}^{3} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(7 x + 3)}^{3} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$4 {(7 x + 3)}^{3} (7 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(7 x + 3)}^{3} (7 + 0)$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$4 {(7 x + 3)}^{3} \cdot 7$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $7$ par $4$ .

$f' (x) = 28 {(7 x + 3)}^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 {(7 x + 3)}^{3}$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [{(7 x + 3)}^{3}]$ .

$28 \frac{d}{d x} [{(7 x + 3)}^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 7 x + 3$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x + 3$ .

$28 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 x + 3])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$28 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 3])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x + 3$ .

$28 (3 {(7 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 3])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $3$ par $28$ .

$84 ({(7 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 3])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$84 {(7 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$84 {(7 x + 3)}^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$84 {(7 x + 3)}^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$84 {(7 x + 3)}^{2} (7 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$84 {(7 x + 3)}^{2} (7 + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$84 {(7 x + 3)}^{2} \cdot 7$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $7$ par $84$ .

$f'' (x) = 588 {(7 x + 3)}^{2}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(7 x + 3)}^{2}$ comme $(7 x + 3) (7 x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [588 ((7 x + 3) (7 x + 3))]$

Étape 3.2

Développez $(7 x + 3) (7 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [588 (7 x (7 x + 3) + 3 (7 x + 3))]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [588 (7 x (7 x) + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x + 3))]$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [588 (7 x (7 x) + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [588 (7 \cdot 7 x \cdot x + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [588 (7 \cdot 7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [588 (7 \cdot 7 x^{2} + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{d}{d x} [588 (49 x^{2} + 7 x \cdot 3 + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{d}{d x} [588 (49 x^{2} + 21 x + 3 (7 x) + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [588 (49 x^{2} + 21 x + 21 x + 3 \cdot 3)]$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [588 (49 x^{2} + 21 x + 21 x + 9)]$

Étape 3.3.2

Additionnez $21 x$ et $21 x$ .

$\frac{d}{d x} [588 (49 x^{2} + 42 x + 9)]$

Étape 3.4

Comme $588$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $588 (49 x^{2} + 42 x + 9)$ par rapport à $x$ est $588 \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 42 x + 9]$ .

$588 \frac{d}{d x} [49 x^{2} + 42 x + 9]$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $49 x^{2} + 42 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$588 (\frac{d}{d x} [49 x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.6

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49 x^{2}$ par rapport à $x$ est $49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$588 (49 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$588 (49 (2 x) + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $49$ .

$588 (98 x + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.9

Comme $42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $42 x$ par rapport à $x$ est $42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$588 (98 x + 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$588 (98 x + 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.11

Multipliez $42$ par $1$ .

$588 (98 x + 42 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 3.12

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$588 (98 x + 42 + 0)$

Étape 3.13

Additionnez $98 x + 42$ et $0$ .

$588 (98 x + 42)$

Étape 3.14

Simplifiez

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Étape 3.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$588 (98 x) + 588 \cdot 42$

Étape 3.14.2

Associez des termes.

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Étape 3.14.2.1

Multipliez $98$ par $588$ .

$57624 x + 588 \cdot 42$

Étape 3.14.2.2

Multipliez $588$ par $42$ .

$f''' (x) = 57624 x + 24696$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $57624 x + 24696$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [57624 x] + \frac{d}{d x} [24696]$ .

$\frac{d}{d x} [57624 x] + \frac{d}{d x} [24696]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [57624 x]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $57624$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $57624 x$ par rapport à $x$ est $57624 \frac{d}{d x} [x]$ .

$57624 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24696]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$57624 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24696]$

Étape 4.2.3

Multipliez $57624$ par $1$ .

$57624 + \frac{d}{d x} [24696]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme $24696$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24696$ par rapport à $x$ est $0$ .

$57624 + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $57624$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 57624$