Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (\frac{1 + x}{1 - x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + x$ et $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez $1 - x$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.10

Multipliez.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $1 + x$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.12

Simplifiez les termes.

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Étape 3.12.1

Multipliez $1 + x$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.12.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.12.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.12.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 3.12.5

Multipliez $\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}}$ par $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2}{(1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}) {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{2}{(1 + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2}{(\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ et ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de ${(1 - x)}^{2}$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

Étape 4.2.4.2

Divisez ${(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Réécrivez ${(1 - x)}^{2}$ comme $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{2}{(1 - x) (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Développez $(1 - x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 (1 - x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2}{1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.3.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2}{1 - x - x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez ${(1 + x)}^{2}$ comme $(1 + x) (1 + x)$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + (1 + x) (1 + x)}$

Étape 4.3.5

Développez $(1 + x) (1 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 (1 + x) + x (1 + x)}$

Étape 4.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)}$

Étape 4.3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Étape 4.3.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Étape 4.3.6.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

Étape 4.3.6.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x \cdot x}$

Étape 4.3.6.1.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x^{2}}$

Étape 4.3.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 2 x + x^{2}}$

Étape 4.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{- 2 x + x^{2} + 2 + 2 x + x^{2}}$

Étape 4.3.8

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + 0 + x^{2}}$

Étape 4.3.9

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 + x^{2}}$

Étape 4.3.10

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

Étape 4.3.11

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2$ .

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Étape 4.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

Étape 4.3.11.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Étape 4.3.11.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$