Calcul infinitésimal Exemples

$e^{r (θ - t)} S^{- 1}$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)} \frac{1}{S}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Associez $e^{r (θ - t)}$ et $\frac{1}{S}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{e^{r (θ - t)}}{S}]$

Étape 2.2

Comme $\frac{1}{S}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$ .

$\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = r (θ - t)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{S} (e^{u} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (e^{r (θ - t)} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $e^{r (θ - t)}$ et $\frac{1}{S}$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [r (θ - t)]$

Étape 4.2

Comme $r$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $r (θ - t)$ par rapport à $t$ est $r \frac{d}{d t} [θ - t]$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} (r \frac{d}{d t} [θ - t])$

Étape 4.3

Associez $r$ et $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [θ - t]$

Étape 4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $θ - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 4.5

Comme $θ$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $θ$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 4.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 4.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.9

Associez les fractions.

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Étape 4.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \cdot - 1$

Étape 4.9.2

Associez $\frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$ et $- 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)} \cdot - 1}{S}$

Étape 4.9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.9.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $r e^{r (θ - t)}$ .

$\frac{- 1 \cdot (r e^{r (θ - t)})}{S}$

Étape 4.9.3.2

Réécrivez $- 1 r$ comme $- r$ .

$\frac{- r e^{r (θ - t)}}{S}$

Étape 4.9.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{r e^{r θ + r (- t)}}{S}$

Étape 5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{r e^{r θ - r t}}{S}$