Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + y^{2}) \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + y^{2}$ et $g (x) = \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})] + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$(x^{2} + y^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) (\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}] + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 5

Élevez $x^{2} + y^{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 7

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 10

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x + 0)) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x)) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 14

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x + 0)$

Étape 15

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Étape 16

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 \frac{1}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Associez des termes.

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Étape 17.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{- 2}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Étape 17.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{2}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Étape 17.1.3

Associez $x$ et $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{x \cdot 2}{x^{2} + y^{2}}) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Étape 17.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{2 \cdot x}{x^{2} + y^{2}}) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Étape 17.1.5

Associez $\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$ et $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)}{x^{2} + y^{2}} + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Étape 17.1.6

Pour écrire $\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)}{x^{2} + y^{2}} + \frac{\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 17.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 17.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) x + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 17.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 x \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) + 2 x \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$