Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{2 x}}{\sin (5 x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{2 x}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

$\frac{\sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\sin (5 x) (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 4.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 5.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} (\cos (5 x) (\frac{d}{d x} [x]))}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} (\cos (5 x) \cdot 1)}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 5.4

Multipliez $\cos (5 x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (5 x) (2 e^{2 x}) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \sin (5 x) e^{2 x} - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 6.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 \sin (5 x) e^{2 x} - 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ .

$\frac{2 e^{2 x} \sin (5 x) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 6.2

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 e^{2 x} \sin (5 x) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 e^{2 x} \sin (5 x)$ .

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x)) - 5 e^{2 x} \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 6.2.2

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- 5 e^{2 x} \cos (5 x)$ .

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x)) + e^{2 x} (- 5 \cos (5 x))}{\sin^{2} (5 x)}$

Étape 6.2.3

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} (2 \sin (5 x)) + e^{2 x} (- 5 \cos (5 x))$ .

$\frac{e^{2 x} (2 \sin (5 x) - 5 \cos (5 x))}{\sin^{2} (5 x)}$