Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3} = y$ .

$\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3} = y$

Étape 2

Ajoutez $\sqrt{x + 3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x - 3} = y + \sqrt{x + 3}$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x - 3}}^{2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 3}$ comme ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 3)}^{1} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez

$x - 3 = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$ comme $(y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$ .

$x - 3 = (y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$

Étape 4.3.1.2

Développez $(y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - 3 = y (y + \sqrt{x + 3}) + \sqrt{x + 3} (y + \sqrt{x + 3})$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x - 3 = y \cdot y + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} (y + \sqrt{x + 3})$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x - 3 = y \cdot y + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$

Étape 4.3.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$ .

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Étape 4.3.1.3.1.2.1

Élevez $\sqrt{x + 3}$ à la puissance $1$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}$

Étape 4.3.1.3.1.2.2

Élevez $\sqrt{x + 3}$ à la puissance $1$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}$

Étape 4.3.1.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}$

Étape 4.3.1.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{2}$

Étape 4.3.1.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ comme $x + 3$ .

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Étape 4.3.1.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 4.3.1.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 4.3.1.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.3.1.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.3.1.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{1}$

Étape 4.3.1.3.1.3.5

Simplifiez

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + x + 3$

Étape 4.3.1.3.2

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{x + 3} y$ .

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + y \sqrt{x + 3} + x + 3$

Étape 4.3.1.3.3

Additionnez $y \sqrt{x + 3}$ et $y \sqrt{x + 3}$ .

$x - 3 = y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3$

Étape 5

Résolvez $2 y \sqrt{x + 3}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3$ .

$y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 y \sqrt{x + 3}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3 - y^{2}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y \sqrt{x + 3} + 3 = x - 3 - y^{2} - x$

Étape 5.2.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 y \sqrt{x + 3} = x - 3 - y^{2} - x - 3$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 3 - y^{2} - x - 3$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$2 y \sqrt{x + 3} = - 3 - y^{2} + 0 - 3$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $- 3 - y^{2}$ et $0$ .

$2 y \sqrt{x + 3} = - 3 - y^{2} - 3$

Étape 5.2.5

Soustrayez $3$ de $- 3$ .

$2 y \sqrt{x + 3} = - y^{2} - 6$

Étape 6

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 y \sqrt{x + 3})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Étape 7

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Simplifiez ${(2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y)}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$2^{2} y^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 y^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 y^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 y^{2} {(x + 3)}^{1} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.4

Simplifiez

$4 y^{2} (x + 3) = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} x + 4 y^{2} \cdot 3 = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $3$ par $4$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez ${(- y^{2} - 6)}^{2}$ .

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Étape 7.3.1.1

Réécrivez ${(- y^{2} - 6)}^{2}$ comme $(- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = (- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$

Étape 7.3.1.2

Développez $(- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2} - 6) - 6 (- y^{2} - 6)$

Étape 7.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2} - 6)$

Étape 7.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1.3.1.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = 1 y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.4

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} + 6 y^{2} - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.7

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} + 6 y^{2} + 36$

Étape 7.3.1.3.2

Additionnez $6 y^{2}$ et $6 y^{2}$ .

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 12 y^{2} + 36$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1.1

Soustrayez $12 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{2} x = y^{4} + 12 y^{2} + 36 - 12 y^{2}$

Étape 8.1.2

Associez les termes opposés dans $y^{4} + 12 y^{2} + 36 - 12 y^{2}$ .

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Étape 8.1.2.1

Soustrayez $12 y^{2}$ de $12 y^{2}$ .

$4 y^{2} x = y^{4} + 0 + 36$

Étape 8.1.2.2

Additionnez $y^{4}$ et $0$ .

$4 y^{2} x = y^{4} + 36$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} x = y^{4} + 36$ par $4 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} x = y^{4} + 36$ par $4 y^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} x}{4 y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{2} x}{4 y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Étape 8.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Étape 8.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{4}$ et $y^{2}$ .

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Étape 8.2.3.1.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{4}$ .

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Étape 8.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.1.1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2} \cdot 4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Étape 8.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2} \cdot 4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Étape 8.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

Étape 8.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $36$ et $4$ .

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Étape 8.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 y^{2}}$

Étape 8.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 (y^{2})}$

Étape 8.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 y^{2}}$

Étape 8.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{9}{y^{2}}$