Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ est indéfinie.

$x = - \frac{5}{6}$

Étape 2

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 2.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Étape 2.2

Évaluez la limite.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $10$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Étape 2.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 2.2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 2.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 2.2.6

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 2.2.7

Placez le terme $11$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 2.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite.

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Étape 2.4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Étape 2.4.2

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Étape 2.4.3

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 2.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Étape 2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $11$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Étape 2.6.1.2

Additionnez $10$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez $10$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 0}$

Étape 2.6.2.2

Additionnez $12$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12}$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $10$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Étape 3.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 3.2.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 3.2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 3.2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 3.2.7

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 3.2.8

Placez le terme $11$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 3.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite.

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Étape 3.4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Étape 3.4.2

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Étape 3.4.3

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Multipliez $11$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Étape 3.6.1.2

Additionnez $10$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.2.1

Multipliez $10$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 0}$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $12$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12}$

Étape 3.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{10}}{12}$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

Étape 5

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{5}{6}$

Asymptotes horizontales : $y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7