Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$ par rapport à $v$ est $2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$ .

$2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ est $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ où $f (v) = \sin (v^{2})$ et $g (v) = \cos (6 v)$ .

$2 (\sin (v^{2}) \frac{d}{d v} [\cos (6 v)] + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ est $f' (g (v)) g' (v)$ où $f (v) = \cos (v)$ et $g (v) = 6 v$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 v$ .

$2 (\sin (v^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 v$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $6 v$ par rapport à $v$ est $6 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) (6 \frac{d}{d v} [v])) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Étape 4.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \frac{d}{d v} [v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \cdot 1) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Étape 4.4

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ est $f' (g (v)) g' (v)$ où $f (v) = \sin (v)$ et $g (v) = v^{2}$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $v^{2}$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Étape 5.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $v^{2}$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$- 12 (\sin (v^{2}) (\sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 \cos (6 v) \cos (v^{2}) v$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 v \cos (v^{2}) \cos (6 v)$