Calcul infinitésimal Exemples

$y \sin (x) = x \sin (y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (x \sin (y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y \cos (x) + \sin (x) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) \cdot 1$

Étape 3.5

Multipliez $\sin (y)$ par $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y \cos (x) + \sin (x) y' = x \cos (y) y' + \sin (y)$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y \cos (x) + \sin (x) y'$ .

$y \cos (x) + y' \sin (x) = x \cos (y) y' + \sin (y)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \cos (y) y' + \sin (y)$ .

$y \cos (x) + y' \sin (x) = x y' \cos (y) + \sin (y)$

Étape 5.3

Soustrayez $x y' \cos (y)$ des deux côtés de l’équation.

$y \cos (x) + y' \sin (x) - x y' \cos (y) = \sin (y)$

Étape 5.4

Soustrayez $y \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$y' \sin (x) - x y' \cos (y) = \sin (y) - y \cos (x)$

Étape 5.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' \sin (x) - x y' \cos (y)$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' \sin (x)$ .

$y' (\sin (x)) - x y' \cos (y) = \sin (y) - y \cos (x)$

Étape 5.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \cos (y)$ .

$y' (\sin (x)) + y' (- x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$

Étape 5.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (\sin (x)) + y' (- x \cos (y))$ .

$y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$ par $\sin (x) - x \cos (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$ par $\sin (x) - x \cos (y)$ .

$\frac{y' (\sin (x) - x \cos (y))}{\sin (x) - x \cos (y)} = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x) - x \cos (y)$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (\sin (x) - x \cos (y))}{\sin (x) - x \cos (y)} = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} - \frac{y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Étape 5.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{\sin (y) - y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y) - y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$