Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (\sqrt{1 + x^{2}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \sin ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.7.3

Placez ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Étape 4.12

Simplifiez les termes.

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Étape 4.12.1

Associez $2$ et $\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 4.12.2

Associez $\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.13

Simplifiez

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Étape 4.13.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x$ .

$\frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.13.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$