Calcul infinitésimal Exemples

$y z = \ln (x + z)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y z) = \frac{d}{d x} (\ln (x + z))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $z$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y z$ par rapport à $x$ est $z \frac{d}{d x} [y]$ .

$z \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$z y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + z$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + z$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + z]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + z]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + z$ .

$\frac{1}{x + z} \frac{d}{d x} [x + z]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + z$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z]$ .

$\frac{1}{x + z} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + \frac{d}{d x} [z])$

Étape 3.2.3

Comme $z$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $z$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + 0)$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{x + z} \cdot 1$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{x + z}$ par $1$ .

$\frac{1}{x + z}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z y' = \frac{1}{x + z}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $z y' = \frac{1}{x + z}$ par $z$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $z y' = \frac{1}{x + z}$ par $z$ .

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{1}{x + z} \cdot \frac{1}{z}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{1}{x + z}$ par $\frac{1}{z}$ .

$y' = \frac{1}{(x + z) z}$

Étape 5.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{(x + z) z}$ .

$y' = \frac{1}{z (x + z)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{z (x + z)}$