Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} \sin^{3} (x^{3})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} \sin^{3} (x^{3}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin^{3} (x^{3})$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x^{3})] + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x^{3})$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x^{3})$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x^{3})$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3})]) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3}$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3}$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) (\cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (3 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) (3 x^{2})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) x^{2}) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.5

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 3} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.5.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$x^{5} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{5} (9 \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3})) + \sin^{3} (x^{3}) (3 x^{2})$

Étape 3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{5} \sin^{2} (x^{3}) \cos (x^{3}) + 3 x^{2} \sin^{3} (x^{3})$