Calcul infinitésimal Exemples

$y = (16 x + 5) {(4 x - 3)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(4 x - 3)}^{2}$ comme $(4 x - 3) (4 x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) ((4 x - 3) (4 x - 3))]$

Étape 2

Développez $(4 x - 3) (4 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x - 3))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.5

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 12 x + 9)]$

Étape 3.2

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 24 x + 9)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 16 x + 5$ et $g (x) = 16 x^{2} - 24 x + 9$ .

$(16 x + 5) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 24 x + 9] + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{2} - 24 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(16 x + 5) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Étape 5.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(16 x + 5) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(16 x + 5) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $16$ .

$(16 x + 5) (32 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Étape 5.5

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Étape 5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Étape 5.7

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Étape 5.8

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24 + 0) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Étape 5.9

Additionnez $32 x - 24$ et $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

Étape 5.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 5.11

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 5.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 5.13

Multipliez $16$ par $1$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 5.14

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 + 0)$

Étape 5.15

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.15.1

Additionnez $16$ et $0$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \cdot 16$

Étape 5.15.2

Déplacez $16$ à gauche de $16 x^{2} - 24 x + 9$ .

$(16 x + 5) (32 x - 24) + 16 \cdot (16 x^{2} - 24 x + 9)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(16 x + 5) (32 x - 24) + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(16 x + 5) (32 x) + (16 x + 5) \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 x (32 x) + 5 (32 x) + (16 x + 5) \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$16 x (32 x) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.5

Associez des termes.

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Étape 6.5.1

Multipliez $32$ par $16$ .

$512 x \cdot x + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$512 (x^{1} x) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$512 (x^{1} x^{1}) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$512 x^{1 + 1} + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$512 x^{2} + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.5.6

Multipliez $32$ par $5$ .

$512 x^{2} + 160 x + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.5.7

Multipliez $- 24$ par $16$ .

$512 x^{2} + 160 x - 384 x + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.5.8

Multipliez $5$ par $- 24$ .

$512 x^{2} + 160 x - 384 x - 120 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.5.9

Soustrayez $384 x$ de $160 x$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.5.10

Multipliez $16$ par $16$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

Étape 6.5.11

Multipliez $- 24$ par $16$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} - 384 x + 16 \cdot 9$

Étape 6.5.12

Multipliez $16$ par $9$ .

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} - 384 x + 144$

Étape 6.5.13

Additionnez $512 x^{2}$ et $256 x^{2}$ .

$768 x^{2} - 224 x - 120 - 384 x + 144$

Étape 6.5.14

Soustrayez $384 x$ de $- 224 x$ .

$768 x^{2} - 608 x - 120 + 144$

Étape 6.5.15

Additionnez $- 120$ et $144$ .

$768 x^{2} - 608 x + 24$