Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} + 8}{8 - x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 8$ et $g (x) = 8 - x$ .

$\frac{(8 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 8] - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(8 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x + 0) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(8 - x) (2 x) - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $8 - x$ .

$\frac{2 \cdot (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [8 - x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [- x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 - x) x - (x^{2} + 8) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.9

Multipliez.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + 1 (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $x^{2} + 8$ par $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + (x^{2} + 8) \cdot 1}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 2.11

Multipliez $x^{2} + 8$ par $1$ .

$\frac{2 (8 - x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x)) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16 x + 2 (- x) x + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- x^{2}) + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{16 x - 2 x^{2} + x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{16 x - x^{2} + 8}{{(8 - x)}^{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Étape 3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 16 x + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $16 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 16 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x) + 8}{{(- x + 8)}^{2}}$

Étape 3.8

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 16 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Étape 3.10

Réécrivez $- (x^{2} - 16 x - 8)$ comme $- 1 (x^{2} - 16 x - 8)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 16 x - 8)}{{(- x + 8)}^{2}}$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - 16 x - 8}{{(- x + 8)}^{2}}$